Muziekleer

Toonladders

1. Modi
2. Toongeslachten
3. Overige 7-tonige ladders
1. Mineurladders
2. Zigeuner-toonladders
4. 5-tonige ladders
5. 6-tonige ladders
6. 8-tonige ladders
7. Blues
8. Toonladders tellen
9. Links

Als men de tonen uit het toonstelsel na elkaar speelt (stijgend of dalend) noemt men dat een toonladder.

Modi

Al met al zijn er in een diatonische toonladder 7 tonen, die in een bepaalde volgorde van intervallen van hele en halve tonen over een octaaf verdeeld zijn. Men kan een toonladder spelen beginnend vanaf een willekeurige grondtoon (tonica). De opeenvolging van intervallen kan men beginnen vanaf een willekeurige positie in de relatieve reeks do-re-mi-fa-sol-la-si (toon-trap): dit geeft de toon-soort (toon-aard). De specifieke reeks van intervallen noemt men modus (Lat.:"wijze waarop") - een geabstraheerde toonladder of basale melodie. Voor gelijkzwevende stemming maakt het niet uit, maar bij anders gestemde instrumenten klinken de intervallen tussen de verschillende tonen in een modus met de tonica, verschillend van die in een andere modus. In de oud-Griekse, Byzantijnse, en middeleeuwse ("Gregoriaanse") muziekleer hadden modi een andere betekenis (al gebruiken we nog deels dezelfde namen).

In de huidige betekenis construeert men 7 zgn. kerktoonladders:
(toonafstanden in halve tonen)

Ieder van de modi kan getransponeerd worden naar een andere tonica (het gaat om de opeenvolging van toonafstanden, niet om de grondtoon), maar dan zullen niet meer alle tonen in de toonladder de hele (witte) tonen op de piano zijn.

De trappen in een toonladder hebben een naam gekregen naar hun functie binnen de ladder en de akkoorden die uit een ladder kunnen worden geconstrueerd:

1. I : tonica
2. II : supertonica
3. III : mediant
4. IV : subdominant
5. V : dominant, deze heeft de belangrijkste functie in de melodieën en akkoorden.
6. VI : submediant
7. VII : subtonica (indien een hele toon onder de octaaf) of
   leidtoon (indien een halve toon onder de octaaf)

Als men de tonica in het midden van de ladder denkt, ligt de subdominant een kwint lager en de dominant een kwint hoger; de submediant en mediant liggen er tussenin.

In de verschillende modi zijn van tonen met een bepaalde functie hun interval met de tonica verschillend, en akkoorden - combinaties van 3 of meer tonen met een bepaalde functie - klinken dus verschillend in verschillende modi.

Voor chromatische toonladders duidt men de trappen aan met nummers 0..11 (eigenlijk de toonklassen, de verzamelingen die ieder een reeks tonen hebben die op een interval van steeds 1 octaaf van elkaar liggen).

Toongeslachten

Tegenwoordig onderscheidt men slechts 2 toon-geslachten:

Majeur:

komt overeen met de Ionische modus, toonafstanden 2,2,1,2,2,2,1 halve tonen, begint dus met een grote terts 2,2 (Fr.:"tierce majeure").

	1 2 3  4 5 6  7  8
op C:	C D E  F G A  B  c
op A:	A B C# D E F# G# a
	 2 2  1 2 2  2  1

Mineur:

komt overeen met de Aeolische modus, toonafstanden 2,1,2,2,1,2,2 halve tonen, begint dus met een kleine terts 2,1 (Fr.:"tierce mineure").

	1 2 3  4 5 6  7  8
op A:	A B C  D E F  G  a
op C:	C D Eb F G Ab Bb c
	 2 1  2 2 1  2  2

Dit is de zgn. natuurlijke mineurladder.

De majeur en mineur ladders hebben dezelfde tonen - hebben zogeheten parallele toonaarden (Noot) - maar de mineur-ladder begint op de 6e trap van de majeur-ladder; oftewel de majeur begint op de 3e trap van de mineur: het verschil tussen hun grondtoon is een kleine terts.

Majeur- en mineur-ladders op dezelfde grondtoon worden relatieve toonaarden genoemd (Noot): ze delen niet alle diatonische stamtonen maar hebben een drietal kruizen of mollen: zie de tabelletjes hierboven.

In de natuurlijke mineurladder is de kwint (dominant) wel volmaakt (3 hele en 1 halve toon boven de tonica), maar zijn de terts, sext, en septiem intervallen verminderd t.o.v. die van de majeurladder, waardoor akkoorden met die tonen anders klinken. Daarom zijn er variaties van de natuurlijke mineurladder waarin de submediant (sext) en|of ondertonica (septiem) worden verhoogd. Hierdoor klinken de akkoorden normaler; maar in de melodie van de ladder kan er een rare stap van een anderhalve toon komen, wat exotisch klinkt.

Overige 7-tonige ladders

De Mixolydische modus:

	1 2 3 4 5 6 7 8
	G A B C D E F g
	 2 2 1 2 2 1 2

is ook een majeur-ladder die van de gewone (Ionische, C-Majeur) verschilt in dat de 7e trap slechts een kleine septiem boven de tonica ligt; de toonsafstand van deze zevende trap tot de octaaf is dan een hele toon, en is dus geen leidtoon naar de octaaf zoals in een majeurladder, maar een zgn. ondertonica. Dit werd in de klassieke muziek vermeden maar is in de jazz en moderne popmuziek heel gebruikelijk. Zie de bespreking van dominante septiem-akkoorden op de volgende pagina.

De Lydische modus:

	1 2 3 4 5 6 7 8
	F G A B C D E F
	 2 2 2 1 2 2 1

is een majeur-ladder met een overmatige kwart. Gebruikt in jazz en jazz theorie.

De Frygische modus moet eigenlijk dalend gespeeld worden:

	8 7 6 5 4 3 2 1
	e D C B A G F E
	 2 2 1 2 2 2 1

Het dalend tetrachord met intervallen van een hele, hele, en halve toon noemt men de Frygische progressie of Andalusische cadens, en werd in de Barok en wordt in de flamenco veel gebruikt; het suggereert een zucht.

De Dorische modus:

	1 2 3 4 5 6 7 8
	D E F G A B C d
	 2 1 2 2 2 1 2

is ook een mineur-ladder maar verschilt van de gewone (Aeolische, A-mineur) in dat de 6e trap een halve toon verhoogd is, dus het interval tussen de 5e en 6e trap is een hele toon, en de 6e trap ligt een grote sext boven de tonica; maar de volgende (7e) trap ligt dan slechts een halve toon hoger: een kleine septiem boven de tonica (zoals in de gewone mineur-ladder), en een hele toon onder de octaaf, en is dus geen leidtoon naar de octaaf maar een ondertonica.

Het bekende Dies Irae uit het Requiem in de rooms-katholieke liturgie is in de Dorische modus, en de begin-noten (F-E-F-D-E-C-D-D) zijn de afgelopen vijf eeuwen veelvuldig geciteerd in andere composities:

In de Lokrische modus:

	1 2 3 4 5 6 7 8
	B C D E F G A b
	 1 2 2 1 2 2 2

is het interval tussen de tonica en zijn dominant, B-F, geen volmaakte kwint (3 hele en 1 halve toon) maar een verminderde kwint (2 hele en 2 halve tonen, dus tritoon), en muziek in deze modus klinkt dus raar.

Harmonische majeurladder:
hierin is de 6e trap van de gewone majeurladder verlaagd, wat equivalent is aan een harmonische mineurladder (zie hieronder) waarin naast de 7e, ook de 3e trap is verhoogd:

	1 2 3  4 5 6  7  8
op C:	C D E  F G Ab B  c
op A:	A B C# D E F  G# a
	 2 2  1 2 1  3  1

Deze toonladder klinkt dan ook als een tussenvorm van majeur- en harmonische mineur-ladders, en heeft (net als de majeur en harmonische en melodische mineur ladders) de eigenschap dat het interval tussen tonen op twee trappen van elkaar, steeds een grote of kleine terts is.

Mineurladders

Veelgebruikte mineurladders zijn:

	1 2 3  4 5 6  7  8
op A:	A B C  D E F  G# a
op C:	C D Eb F G Ab B  c
	 2 1  2 2 1  3  1

	1 2  3  4 5 6  7  8
op E:	E F  G# A B C  D  e
op C:	C Db E  F G Ab Bb c
op A:	A Bb C# D E F  G  a
	 1  3  1 2 1  2  2
	

	1 2 3 4 5 6  7  8
	A B C D E F# G# a
	 2 1 2 2 2  2  1

	1 2 3  4 5 6 7 8
	C D Eb F G A B c
	 2 1  2 2 2 2 1

Zigeuner-toonladders

In zgn. zigeuner-toonladders zijn er twee intervallen van anderhalve toon:

	1 2  3  4 5 6  7  8
op E:	E F  G# A B C  D# e
op C:	C Db E  F G Ab B  c
	 1  3  1 2 1  3  1

	1 2  3  4  5  6  7  8
op A:	A B  C  D# E  F  G# a
op B:	B C# D  E# F# G  A# b
op C:	C D  Eb F# G  Ab B  c
op D:	D E  F  G# A  Bb C# d
op E:	E F# G  A# B  C  D# e
op F:	F G  Ab B  C  Dd E  f
op G:	G A  Bb C# D  Eb F# g
	 2  1  3  1  1  3  1

Vijftonige (pentatonische) ladders

Er is veel muziek die slechts 5 (Gr."penta"=vijf) tonen binnen een octaaf gebruikt. Deze kunnen intervallen van alleen hele, of ook halve tonen hebben.

Majeur pentatonische ladder:
af te leiden uit de C-Majeur ladder door tonen steeds een kwint hoger te nemen: C G D A E, of in volgorde:

	C D E G A c
	 2 2 3 2 3

bevat dus ook het C-Majeur akkoord (C-E-G) uit de C-Majeur diatonische ladder, en ook de grote sext (C-A). De 4e en 7e trap uit de majeurladder, de leidtonen naar de kwint en de octaaf, vervallen: daarom klinken alle tonen ongeveer gelijkwaardig.
Overige transposities met alleen diatonische tonen:

	F G A C D f
	G A B D E g

Deze toonladder wordt wereldwijd gebruikt en is de basis van talloze composities en improvisaties. Onder zijn uitzonderlijke (unieke) eigenschappen zijn:

• optimale spreiding van 5 chromatische tonen binnen een octaaf (grootste entropie);
• complement van de 7-tonige diatonische toonladder (als F#,G#,A#,C#,D# - een modus van de zwarte toetsen op de piano - getransponeerd naar C);
• maximaal aantal volkomen consonanten dat mogelijk is tussen 5 tonen: 4 kwinten en kwarten (C-G en G-c, G-d en D-G, D-A en a-D, A-e en E-A).

Relatieve mineur pentatonische ladder:
af te leiden uit de natuurlijke mineurladder door de 2e en 6e trap weg te laten, waardoor er weer geen intervallen van een kleine secunde (halve toon) meer in de ladder zitten (anhemitonisch):

	A C D E G a
	 3 2 2 3 2

Het bevat het A-mineur akkoord (A-C-E) uit de A-mineur diatonische ladder. Dit is tevens een modus van de majeur pentatonische ladder; in muziek kan men makkelijk moduleren van majeur naar pentatonisch mineur.
Getransponeerd naar C:

	C Eb F G Bb c
	 3  2 2 3  2

Overige transposities met alleen diatonische tonen:

	D F G A C d
	E G A B D e

De 5 zwarte toetsen - de halve tonen uit het chromatisch toonstelsel - vormen ook pentatonische toonladders. Deze is dus het complement van de diatonische toonladder. Er zijn hiervoor 5 modi, afhankelijk vanaf welke toets men een ladder begint; deze modi kunnen getransponeerd worden naar een willekeurige grondtoon, ook diatonische. De ladder die begint met Fis of Ges vormt, indien getransponeerd naar C, de majeur pentatonische ladder:

	F# G# A# C# D# f#
	Gb Ab Bb Db Eb gb
	  2  2  3  2  3
	C  D  E  G  A

De ladder die begint met Dis of Es vormt, indien getransponeerd naar A, de mineur pentatonische ladder:

	D# F# G# A# C# d#
	Eb Gb Ab Bb Db eb
	  3  2  2  3  2
	A  C  D  E  G

De andere 3 modi vindt men in de blues en in het Nabije en Verre Oosten.

In plaats van de gelijkzwevende chromatische stemming, zijn er ook Pythagoreese en reine stemmingen voor de pentatonische ladders te construeren:

Majeur rein:

Mineur in stijl van Pythagoras:
hele tonen moeten 9/8 zijn; de kleine tertsen dan 32/27:

Naast deze "anhemitonische" ladders zijn er ook "hemitonische" vijftonige ladders die wel intervallen van een halve toon bevatten.

Zestonige (hexatonische) ladders

(Gr."hexa"=zes)

Majeur hexatonische ladder:
construeer door uit de majeurladder de 7e trap weg te laten:

	C D E F G A c
	 2 2 1 2 2 3

Deze bestaat dan uit twee ineengevlochten akkoorden: het majeur-akkoord C-E-G; en het mineur-akkoord D-F-A .

Mineur hexatonische ladder:
construeer door uit de mineur-ladder de 6e trap weg te laten:

	A B C  D E G  a
	C D Eb F G Bb c
	 2 1  2 2 3  2

Ook andere zestonige ladders kunnen worden gevormd door twee drietonige akkoorden zonder gemeenschappelijke toon in elkaar te schuiven. De hele-toons-toonladder bestaat uit 6 tonen met ieder hetzelfde onderling interval van een hele toon (grote secunde). Daarvan zijn er maar twee:

	C  D  E  F# G# A# c
	C# D# F  G  A  B  c# of equivalent:
	Db Eb F  G  A  B  db
	  2  2  2  2  2  2

Samen vullen ze de chromatische toonladder. Het maakt niet uit welke de grondtoon is. Ze bestaan beiden uit twee vermeerderde triaden: akkoorden van 2 grote tertsen.

Acht-tonige (octotonische) ladders

(Gr."octo"=acht)

Zoals een hexatonische ladder kan worden samengesteld door 2 drieklanken zonder gemeenschappelijke tonen in elkaar te schuiven, kan men een een octotonische ladder vormen uit 2 vierklanken: in het bijzonder 2 verminderde septiem-akkoorden (zie Septiem-akkoorden).
Deze akkoorden bestaan uit een grondtoon, kleine terts, verminderde kwint, en kleine septiem: alle intervallen zijn dus een kleine terts (3 halve tonen).
Drie van zulke akkoorden met grondtonen op een halve toon afstand van elkaar vullen de hele chromatische toonladder; er zijn dan 3 verschillende combinaties van 2 van die akkoorden die een ladder met 8 tonen vormen. Deze ladders hebben trappen van afwisselend een halve en een hele toon afstand.
Ze hebben ieder dus slechts 2 modi: de ene begint met een kleine secunde, de andere met een grote secunde tussen de eerste en tweede trap.

De drie toonladders zijn:

	Db Eb E F# G A Bb C db
	  2  1 2  1 2 1  2 1

	D E F G Ab Bb B C# d
	 2 1 2 1  2  1 2  1

	Eb F F# G# A B C D eb
	  2 1  2  1 2 1 2 1

De drie ladders zijn verwant, en kunnen door transposities en inversies in elkaar worden omgezet.

Hoewel dergelijke toonladders al in composities sinds de 18e eeuw gevonden zijn, en blijkbaar voor het eerst expliciet beschreven door prins Edmond de Polignac, zijn ze eind 19e eeuw systematisch bestudeerd door Nikolai Rimsky-Korsakov en andere (Russische) componisten, en ook door bijv. Willem Pijper gebruikt. Ook in de Jazz wordt deze "(symmetric) diminished scale" wel gebruikt.

In de Bebop-periode (jaren 1940) kwamen toonladders in gebruik waar aan een 7-toons ladder een 8e, chromatische toon werd toegevoegd. Dit is om de toonladder binnen een 4/4 maat te kunnen spelen: de akkoord-tonen (oneven trappen) vallen dan allen op de "downbeat" (oneven noten in de maat).
Er schijnen 5 zulke toonladders gebruikt te zijn; de belangrijkste is de zgn. bebop dominante ladder (En:"bebop dominant scale"), welke schijnt te zijn afgeleid van de Mixolydische modus (diatonische ladder op G), waarin de 7e trap een kleine septiem is die een grote secunde onder de octaaf ligt: men voegt dan daartussen als 8e trap de chromatische grote septiem toe zodat ook alle tonen van de Majeur-ladder er in zitten.
(Opm. A.R.P.: waarom dan niet equivalent geanalyseerd als de Ionische modus (Majeur-ladder) waaraan men de kleine septiem toevoegt om dominante septiem-akkoorden te kunnen spelen?)
Dus op C:

	C D E F G A Bb B c
	 2 2 1 2 2 1  1 1

Een andere is de zgn. "bebop major scale" oftewel de "major sixth diminished scale". Deze voegt een overmatige kwint of enharmonisch equivalent een verminderde sext tussen. Op C:

	C D E F G G#/Ab A B c
	 2 2 1 2 1     1 2 1

Dit kan volgens Barry Harris gezien worden als het samenvoegen van een sext akkoord (zie Toegevoegde toon) op C (C-E-G-A) en een verminderd septiem akkoord op D (D-F-Ab-B).

Blues

Blues (en Jazz) wordt gekenmerkt door "blue notes". Dit zijn eigenlijk geen tonen op een eigen trap in een ladder, maar een vervorming van een andere toon in de ladder. Een echte blues-toonladder kan dus eigenlijk niet bestaan. Meestal speelt men een verlaging van de 5e trap (of verhoging van de 4e trap) met een kwart toon of zelfs halve toon. Typisch voor de blues is ook een wisseling tussen majeur en mineur: in een majeur toonaard wordt dan soms de terts verlaagd. Ook wordt wel een verlaagde 7e trap gespeeld als "blue note".

Er is niettemin een zgn. blues ladder met 6 tonen: opgebouwd uit de mineur pentatonische ladder (op C: C Eb F G Bb), waarin een extra "blue" noot gespeeld wordt op een verhoogde 4e/verlaagde 5e trap als leidtoon naar de dominant:

	C Eb F F#/Gb G Bb c
	 3  2 1     1 3  2

(bevat het C-mineur akkoord C-Eb-G)

Majeur blues ladder, op basis van de majeur pentatonische ladder (C D E G A): met verlaagde 3e trap, introduceert een mineurklank:

	C D Eb E G A c
	 2 1  1 3 2 3

Of een met een verhoogde 4e/verlaagde 5e trap als leidtoon naar de dominant:

	C D E F#/Gb G A c
	 2 2 2     1 2 3

(deze bevatten dus inderdaad het C-Majeur akkoord C-E-G).

De zeventonige blues ladder verlaagt de 3e, 5e, en 7e trappen:

	C D Eb F Gb A Bb c
	 2 1  2 1  3 1  2

Een negentonige blues ladder speelt de 3e en 7e trap verlaagd met een kwart toon overglijdend in de normale toon:

	C D Eb-E F G A Bb-B c
	 2 1  1 1 2 2 1  1 1

Toonladders tellen

Alan Forte ontwikkelde (1973) een systeem om verzamelingen (sets) van de 12 chromatische toonklassen te ordenen. Dit kan gebruikt worden om toonladders of akkoorden te identificeren. Het is een paar van nummers: het eerste geeft het aantal toonklassen in de set, het tweede een volgnummer in zijn ordening. Het gaat steeds om de verzameling, dus een ongestructureerde zak gevuld met een aantal toonklassen: de precieze volgorde doet er niet toe. Dus alle diatonische toonschalen hebben hetzelfde Forte-nummer (namelijk #7-35).

Andrew Duncan onderzocht (1991) alle mogelijke toonladders op basis van de 12 chromatische toonklassen. Deze kunnen worden gedigitaliseerd door voor een toonladder met aan|uit bits aan te geven welke van de 12 chromatische toonklassen (0..11) deel uitmaken van die toonladder. Men krijgt dan dus een getal van 12 bits: er zijn dan 2^12 = 4096 mogelijke combinaties.

Verder karakteriseert hij de toonladders door hun verschillende intervallen te tellen (intervalspectrum), van interval 0 (= aantal tonen in de ladder) tot 11 (= grote septiem): dit kan dan ook uitgedrukt worden als een getal van 12 (decimale) cijfers.

William Zeitler onderzocht (2005) de subset van alle toonladders met deze kenmerken:

• een toonladder is een aantal tonen binnen een octaaf en herhaalt in ieder octaaf;
• een toonladder bestaat uit een aantal chromatische tonen (1/12 interval van een octaaf);
• een toonladder heeft altijd een grondtoon;
• een toonladder bevat ten minste 3 tonen;
• een toonladder heeft geen intervallen groter dan een grote terts (4 chromatische tonen).

Dan zijn er 228 mogelijke toonladders in 1490 mogelijke modi. De meeste (413) zijn heptatonisch (bevatten 7 tonen).

Ian Ring beschreef de 1490 toonladders uitgebreid, maar draaide de leesrichting van de bits om t.o.v. Duncan: de grondtoon bezet bij hem het Least Significant Bit (rechts).

Het 12-bit getal is geen volgnummer (ordinaal getal), en ook geen aanduiding van hoeveelheid (kardinaal getal), noch slechts een willekeurige numerieke aanduiding (nominaal getal): het is een representatie van de toonladder zelf, en rekenkundige manipulaties van het getal zijn transformaties die andere toonladders genereren.

De grote terts toonladder wordt 101010110101 = 2741
De kleine terts toonladder wordt 010110101101 = 1453

Links toonladders

NL:

• Trap
• Toonladder
• Modaliteit
• Kerktoonladder
• Dies Irae
• Majeur
• Mineur
• Gelijknamige toonaard
• Parallelle toonaard
• Harmonieleer
• Toonsoort
• Tonica
• Mediant
• Subdominant
• Dominant
• Ondertonica
• Leidtoon
• Toonklasse
• Zigeunertoonladder
• Pentatoniek
• Hele-toons toonladder
• Octotonisch
• Bluestoonladder
• Blue note

EN:

• Degree
• Scale
• Mode
• Gregorian mode
• Dies Irae
• Major scale
• Minor scale
• Parallel key
• Relative key
• Diatonic function
• Key
• Tonic
• Supertonic
• Mediant
• Subdominant
• Dominant
• Submediant
• Subtonic
• Leading tone
• Pitch class
• Set
• Set theory
• Forte number
• List of pitch-class sets
• Combinatorial Music Theory
• All the scales
• A study of scales
• Phrygian dominant scale
• Andalusian cadence
• Flamenco mode
• Jazz scale
• Jazz minor scale
• Harmonic Major scale
• Double harmonic scale
• Gypsy scale
• Hungarian minor scale
• Hungarian gypsy scale
• Pentatonic scale
• Hexatonic scale
• Whole tone scale
• Octatonic scale
• Bebop scale
• Blues scale
• Blue note