Stemming volgens Pythagoras (6e eeuw voor Christus), Eratosthenes (3e e.v.Chr.), Ptolemaeus (2e e.n.Chr.):
Gecentreerd rond een middentoon 'A', geeft dit een zgn.toonladder, die dalend als volgt verloopt:
| E | D | C | B | A | G | F | E | ||||||||
| frequentie-verhouding: | 3/2 | 4/3 | 32/27 | 9/8 | 1/1 | 8/9 | 64/81 | 3/4 | |||||||
| interval: | 8/9 | 8/9 | 243/256 | 8/9 | 8/9 | 8/9 | 243/256 |
Dit geeft een toonstelsel van 7 (heptatoniek: Gr.:"hepta"=zeven) stamtonen in een octaaf; van 5 intervallen van hele toonafstanden, met 2 intervallen van halve toonafstanden: het diatonisch toonstelsel.
Er zijn dus 2 toonafstanden:
Het probleem is dat de kwinten en kwarten verhoudingen zijn van machten van 3, en octaven zijn verhoudingen van machten van 2: de breuken (verhoudingen) van de andere tonen (secunden, tertsen, sexten) zijn hogere machten van 2 en 3 en kunnen dus niet verder vereenvoudigd worden. Er is dus geen verdeling van tonen binnen een octaaf te maken die allemaal consonant zijn (allemaal onderling kleine verhoudingsgetallen).
Twee diatonische halve tonen zijn dus niet gelijk aan een diatonische hele toon:
Het verschil is een dissonantie van:
[(3^2):(2^3)] : [(2^16):(3^10)] = (3^12):(2^19) = 531441:524288 = 1,01364...:
het "komma van Pythagoras", dus ongeveer een kwart van een halve toon vals.
Het verschil tussen een hele en halve toon is een factor:
(9:8) : (256:243) = 2187:2048 = (3^7):(2^11) = 1,067871... :
de "apotome", ook wel de chromatische halve toon genoemd.
De diatonische halve toon oftewel kleine secunde oftwel het limma is een interval dat een stamtoon is in een diatonische toonladder, en in de notatie krijgt hij een eigen letter en plaats op de notenbalk.
De chromatische halve toon is het interval waarmee een diatonische toon verhoogd of verlaagd wordt om een nieuw interval van een halve toon in een toonladder te maken: in de notatie behoudt die de letter en plaats op de notenbalk van de stamtoon waarvan hij is afgeleid, maar met een voorteken (mol of kruis) - zie Chromatische Tonen.
Het verschil tussen het limma en de apoteme, de diatonische en chromatische halve tonen, is in de stemming volgens Pythagoras:
[(3^7):(2^11)] : [(2^8):(3^5)] = (3^12):(2^19) = 531441:524288 = 1,01364...
dus het komma van Pythagoras.
6 hele tonen (3 grote tertsen) zouden, net als de diatonische 5 hele en 2 halve tonen, gelijk moeten zijn aan 1 octaaf;
maar (9:8)^6 = (9^6):(8^6) = (3^12):(2^18) = 531441:262144 = 2,0272865...
Tweemaal het komma van Pythagoras, ongeveer een vijfde van een hele toon vals.
12 kwinten zouden gelijk aan 7 octaven moeten zijn, maar 2^7 = 128 en (3/2)^12 = 129,746...
verhouding (3/2)^12 : 2^7 = (3^12):(2^19) = 531441:524288 = 1,01364... :
weer het komma van Pythagoras.
Wolfskwint: het interval tussen 11 kwinten en 7 octaven:
verhouding 2^7 : (3/2)^11 = (2^18):(3^11) = 262144:177147 = 1,47981... i.p.v. rein 1,5 .
De verhouding tussen deze twee intervallen is ook weer het komma van Pythagoras.
In de stemming van Pythagoras klinken de tertsen vals: het zijn geen zelfstandige consonante intervallen, maar een stapeling van 2 tonen. De grote terts (Lat."ditonus": 2 hele tonen) 81:64 (=1,266...) i.p.v. de kleinere reine verhouding 5:4 (=1,25):
en de kleine terts (Lat."semiditonus": 1 hele en 1 halve toon) 32:27 (=1,185...) i.p.v. rein 6:5 (=1,2):
idem de sext: 27:16 (=1,6875) i.p.v. 5:3 (=1,667...):
De afwijking is (81:64) : (5:4) = 81:80 = 1,0125 (en voor de kleine terts (32:27) : (6:5) = 80:81 = 0,987654320 dus de andere kant op): het zgn. Didymisch, Ptolemaeisch, diatonisch, of syntonisch komma: ongeveer een vijfde van een halve toon vals.
Hierdoor kunnen geen harmonische akkoorden worden gevormd, m.n. geen drieklanken (triaden), zoals vooral een majeur-akkoord van een grondtoon en een grote terts en een kwint boven die grondtoon. Deze zouden een reine verhouding van 4:5:6 moeten hebben.
Daarom bleef Westerse muziek tot in de Middeleeuwen relatief eenvoudig, met nadruk op melodie (voortschrijding van tonen) i.p.v. harmonie (samenklank van tonen). Aan het einde van de Middeleeuwen begon men met meerstemmige (polyfonische) muziek.
Tussen F en B zitten 3 intervallen van hele tonen: de tritoon. Dit is dus geen volmaakte kwart (2 hele en 1 halve toon) maar een overmatige kwart. Deze progressie is melodisch dissonant en klinkt ook als akkoord harmonisch dreigend: "diabolus in musica".
De verhouding is in de stemming (9^3):(8^3) = (3^6):(2^9) = 729:512 = 1,4238...,
maar de reine verhouding (in gelijkzwevende stemming) is sqrt(2) = 1,4142...:
dit verdeelt de octaaf dus in gelijke helften, maar dit is dus geen eenvoudige breuk en dus geen volkomen consonante verhouding.
Ondanks deze dissonanties heeft het diatonisch toonstelsel een aantal uitzonderlijke (unieke) eigenschappen:
Constructie volgens reine stemming (Gioseffo Zarlino uit Venetië, ca.1571): hierin worden de tertsen en sexten wel harmonisch gestemd, door ook de 4e boventoon te gebruiken en verhoudingen met priemgetal 5 toe te staan (5-limiet). Dit gaat dan ten koste van andere intervallen, m.n. de grote secunde (= natuurlijke hele toon) en de septiem. Er blijken, i.t.t. de stemming van Pythagoras, 2 intervallen tussen de hele tonen mogelijk te zijn, nl. 9:8 of 10:9 ; naast de halve toonafstand van 16:15 :
De dissonantie, het verschil tussen de twee tonen: 9:8/10:9 = 81:80, is weer het syntonisch komma.
| Naam | Verhouding | Intervallen | ||
|---|---|---|---|---|
| prime | 1:1 | |||
| 16:15 (=1,0667) | ||||
| kleine secunde | 16:15 (=1,0667) | |||
| 25:24 (=1,04167) | ||||
| kleine grote secunde | 10:9 (=1,111) | 135:128 (=1,05469) | ||
| 81:80 (=1,0125) | ||||
| grote grote secunde | 9:8 (=1,125) | |||
| 27:25 (=1,08) ~ 12:11 (=1,0909) driekwarttoon | ||||
| 16:15 (=1,0667) | 9:8 (=1,125) | |||
| kleine terts | 6:5 (=1,2) | 10:9 (=1,1111) | ||
| 25:24 (=1,04167) | ||||
| grote terts | 5:4 (=1,25) | 10:9 (=1,1111) | ||
| 16:15 (=1,0667) | ||||
| kwart | 4:3 (=1,333) | |||
| 9:8 | ||||
| kwint | 3:2 (=1,5) | |||
| 16:15 (=1,0667) | ||||
| kleine sext | 8:5 (=1,6) | 10:9 (=1,1111) | ||
| 25:24 (=1,04167) | ||||
| grote sext | 5:3 (=1,667) | 10:9 (=1,1111) | ||
| 16:15 (=1,0667) | 9:8 (1,125) | |||
| 27:25 (=1,08) ~ 12:11 (=1,0909) driekwarttoon | ||||
| kleine septiem | 16:9 (=1,778) | |||
| 81:80 (=1,0125) | 9:8 (=1,125) | |||
| kleine septiem | 9:5 (=1,8) | 135:128 (=1,05469) | ||
| 25:24 (=1,04167) | 9:8 (=1,125) | |||
| grote septiem | 15:8 (=1,875) | 10:9 (=1,1111) | ||
| 16:15 (=1,0667) | ||||
| octaaf | 2:1 | |||
Om ook de septiem rein te stemmen introduceert men wel machten van 7 in de breuken: men krijgt dan de septimalenreeks, bijv. de harmonische kleine septiem = 7:4 (=1,75), maar deze stemmingen worden zelden gebruikt.
De stapeling van 3 grote tertsen (bijv. C-E, E-G#, G#-B# - zie "Naamgeving" hieronder, en Chromatische Tonen), in totaal 6 hele tonen, zou een octaaf C-c' moeten omspannen: maar in reine verhoudingen geeft dit (5^3):(4^3) = 125:64 = 1,953125 , hoorbaar minder dan een octaaf: de verhouding (2:1) / [(5^3):(4^3)] = 128:125 = 1,024 wordt diesis (Gr.:"vrijlating") genoemd: het is het interval tussen de c' en de B#, ruim een derde van een halve toon vals.
De 7 stamtonen van een diatonische toonladder worden - stijgend - zo benoemd:
do (ut); re; mi, fa; so(l); la; si (ti), do
Dit is een relatief systeem: de grondtoon "do" kan op enige toon uit een toonladder beginnen. Conventioneel is dit echter de C. De intervallen zijn vijfmaal grote secundes (hele tonen), en twee kleine secundes (halve tonen) tussen mi en fa en tussen si en do.
De namen zijn de beginlettergrepen van de regels van een middeleeuwse hymne. Guido van Arezzo gebruikte ze (begin 11e eeuw) bij zijn muziekleer gebaseerd op hexachorden: 6 tonen met intervallen hele,hele,halve,hele,hele toon; de stap van een halve toon zit dus tussen de "mi" en de "fa". Later werden overlappende hexachorden gebruikt op een kwint afstand, beginnend op F, C of G: de oorsprong van de sleutels in onze muzieknotatie.
Absolute tonen worden met letters aangegeven (naar het schijnt voor het eerst door Boethius, ca. 500 n.Chr.):
A B C D E F G
Meestal laat men een octaaf met een C beginnen (C-Majeur toonladder):
| Trap | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |||||||
| Toon | C | D | E | F | G | A | B | c | |||||||
| Toonafstand (1/2 toon): | 2 | 2 | 1 | 2 | 2 | 2 | 1 |
Voor opeenvolgende octaven van laag naar hoog:
| Helmholtznotatie: | C,, | C, | C | c | c' | c'' | c''' (hoge C) |
| Scientific pitch notation: | C0 | C1 | C2 | C3 | C4 | C5 | C6 (= soprano C) |
c' = C4 is de centrale C op een piano van ruim 7 octaven (88 toetsen).
De internationale standaard stemtoonhoogte (concertstemming) is voor de a'= A4 op 440 Hz. De centrale C4 heeft dan een frequentie van 261,63 Hz (zie Gelijkzwevende stemming).
Er is een "wetenschappelijke" stemhoogte die aan de centrale C4 een frequentie van 2^8 = 256 Hz geeft. Als een stemming van de grote sext volgens Pythagoras wordt gebruikt, dan krijgt de A4 een frequentie van 256×27/16 = 432 Hz. Eerder had Verdi al deze stemhoogte op A4 = 432 Hz voorgesteld. 432 = 2×2×2×2×3×3×3, hiermee wordt de stemfrequentie van alle octaven en reine kwinten vanaf C1 dan een geheel getal in Hertz.
Het verschil tussen de twee standaardstemmingen van is dus (bij de A4) 8 Hz, 1,85%, 32 cents: ruim 1/7 van een hele toon. Dit verschil is hoorbaar: