De Berekening van de Paasdatum

©2004, 2022 Dr A.R. (Tom) Peters

Een wat kortere versie van deze text verscheen in twee artikelen in Zenit 31 (2004), April-nummer pp.184..186 en Mei-nummer pp.248..250 .


Inleiding

De meeste mensen weten het niet, maar onze kalender - genoemd naar paus Gregorius XIII - omvat niet alleen een zonnekalender van 365 dagen met af en toe een schrikkeldag. Bij de Gregoriaanse kalender hoort ook een maankalender! Deze is van belang voor het bepalen van de Paasdag. De Christelijke feestdagen komen in twee soorten. De eerste, "vaste" feestdagen, worden gevierd op bepaalde data in het (zonne)jaar, waarvan Kerstmis de belangrijkste is. De andere, "beweeglijke", zoals Hemelvaart en Pinksteren, zijn gerelateerd aan de belangrijkste Christelijke feestdag, namelijk Pasen.

Veel mensen kennen wel de paasregel:

Pasen valt op de eerste Zondag na de eerste Volle Maan na het begin van de lente.

of preciezer:

Pasen valt op de eerste Zondag na de veertiende dag van de Maan welke valt op of meteen na 21 Maart.

Voor het bepalen van de Paasdag zijn dus maar liefst drie kalender-cycli van belang, gebaseerd op de zeven-daagse week, de schijngestalten van de Maan, en de wisseling van de seizoenen. De paasberekening heet traditioneel de "comput" (van het Latijnse computus, voor "berekening", letterlijk: "telling"). Hierin komen bijdragen van de oude Egyptische, Babylonische, joodse, Griekse, en Romeinse kalenders tevoorschijn. In dit artikel ga ik in op de historische, astronomische, en kalender-technische achtergronden van de paasberekening. Voorts leg ik uit hoe de huidige, Gregoriaanse kalender in elkaar steekt en hoe de katholieke en protestantse kerken de Paasdag bepalen.


Kalendertypen en historie

Kalenders zijn meestal gebaseerd op de drie meest opvallende cycli van de hemellichten:

In een kalender moeten de problemen worden opgelost dat de maand en het jaar niet een geheel aantal dagen tellen, en dat er geen geheel aantal maanden in een jaar gaan.

Van oudsher (bijv. bij de Babyloniërs en Israëlieten) begon men een maand wanneer men de nieuwe maansikkel 's avonds na zonsondergang weer voor het eerst boven de westelijke horizon zag. Dit is een observationele maankalender, waarin de maanden 29 of 30 dagen tellen in willekeurige volgorde, afhankelijk van de plaats op aarde, de omstandigheden (o.a. het weer), en de waarnemers. Islamieten bepalen het begin en einde van hun vasten-maand Ramadan nog steeds op een waarneming van de nieuwe maansikkel. De islamitische kalender telt ook altijd precies 12 maanden in een jaar: het is een pure lunaire kalender, die zich niets aantrekt van de seizoenen. Omdat het waarnemen van de nieuwe maansikkel niet altijd mogelijk is, wordt ook een schematische lunaire kalender gebruikt. Om meer eenheid en regelmaat te krijgen, kan men namelijk maanden een lengte van 29 of 30 dagen geven in een vast patroon.

Ook kan men een jaar volgens vaste regels af en toe 13 maanden toekennen (embolismische of schrikkel-maand), zodat het kalender-jaar gemiddeld in de pas blijft met het zonnejaar. Zo'n gecombineerde kalender heet luni-solair. De joodse kalender (afgeleid van de Babylonische) is er zo een.

Anderzijds kan men geen rekening houden met de Maan en zich alleen baseren op de Zon. De Egyptenaren en ook de Maya's hadden een kalender-jaar van altijd 365 dagen, maar dit zwerft in de loop der eeuwen door de seizoenen heen. De Egyptenaren hadden ook 12 "maanden" van altijd 30 dagen in het jaar (en 5 extra dagen erachteraan), maar die hadden geen relatie met het verloop van de echte maanfasen.

De Juliaanse kalender, ingevoerd door Julius Caeser (zie hieronder), liep zo goed mogelijk in pas met de seizoenen, volgens de toenmalige kennis: het was een pure solaire kalender.

Het Christendom werd uiteindelijk (vierde eeuw) staatsgodsdienst in het Romeinse Rijk, maar de kerk had voor het bepalen van de Paasdatum ook een maankalender nodig: deze werd aan de burgerlijke Juliaanse zonnekalender gehangen. De kerkelijke kalender kan men dan ook soli-lunair noemen.


Van joodse Pesach naar Christelijk Pasen

Pasen is het feest van de wederopstanding van Christus. Dit gebeurde op een Zondag na de viering van het joodse feest Pesach. Dit feest herdenkt de exodus (uittocht) van Egypte, en werd gevierd met het slachten van een paaslam, zoals ook bij de exodus was gedaan (Exodus 12). In de Christelijke symboliek werd Jezus het paaslam (bijv. Openbaring 5:12). De exodus gebeurde 's nachts bij Volle Maan, blijkbaar opdat de Egyptenaren hen niet makkelijk konden achtervolgen, maar dat de Israelieten wel konden zien waar ze liepen in de woestijn.

De joden gebruiken een luni-solaire kalender. In zo'n kalender telt men in maanmaanden van 29 of 30 dagen. Een zonnejaar telt iets meer dan 12 maanden. Om niet te veel met seizoenen uit de pas te gaan lopen, voegt men zo af en toe een dertiende maand aan een jaar toe. De joden vieren Pesach op de veertiende en vijftiende dag van hun maand Nissan: dat is de tijd van de Volle Maan in de eerste maand van de lente - de lammeren moesten immers slachtrijp zijn.


De Juliaanse kalender

De Romeinen hadden oorspronkelijk waarschijnlijk een lunaire kalender. Dit werd later een luni-solaire kalender met schrikkelmaanden, maar in de eerste eeuw voor Christus leek het nergens meer op. Julius Caesar, die in zijn functie van pontifex maximus (hogepriester van de Romeinse staatseredienst) ook verantwoordelijk was voor de kalender, voerde in 46 v.Chr. een grote hervorming door. Hij kreeg advies van de astronoom Sosigenes uit Alexandrië, waar men bekend was met de oude Egyptische kalender. Aldus voerde Caesar een jaar in van 365 dagen, dat tamelijk willekeurig werd verdeeld over 12 maanden die Caeser overnam uit de oude Romeinse kalender. Belangrijkste vernieuwing was, dat ieder vierde jaar een extra schrikkel-dag kreeg: zo bleef het kalender-jaar in de pas met de seizoenen. Overigens zijn pas vanaf 8 na Chr. de schrikkeldagen regelmatig ingevoegd, en kregen de maanden hun huidige lengte. Caesar voegde ook nog eens gedurende het jaar 46 v.Chr. een extra lange schrikkelmaand in om het nieuwe jaar weer te laten samenvallen met wat het ooit geweest zou moeten zijn. Maar het nieuwe begin van het jaar viel nogal willekeurig ergens in het winter-seizoen.

Een typisch Romeinse eigenaardigheid is verder de manier waarop de schrikkeldag werd geteld. Voorheen werden schrikkelmaanden ingevoegd voor Maart, dus dat was ook de tijd om een schrikkeldag te plaatsen - dus ergens in de loop van het jaar. Wij vinden dit nu lastig, bijv. bij het berekenen van de dag van het jaar, maar de Romeinen telden anders. Zij rekenden terug en verder vanaf vaste dagen in een maand, waarvan de eerste de kalendas was. Om de marktweek voor de boekhoudkundig belangrijke kalendas niet in de war te gooien, werd de schrikkeldag wat eerder ingevoegd: nl. door de 6e (sextus) dag voor de kalendas van Maart te verdubbelen. Vandaar de aanduiding bissextile in bijv. Frans en Engels. Dit is 24 Februari (de Romeinen telden de kalendas zelf, 1 Maart, als eerste dag). Dit is nog steeds formeel de schrikkeldag. We merken dit alleen omdat de katholieke kerk de betreffende heiligendag (apostel Matthias) dan een dag later viert.


Paasprobleem: van joodse maankalender naar Juliaanse zonnekalender

De Christenen waren het lange tijd niet eens wanneer ze nu Pasen zouden vieren. De officiële kalender in het Romeinse Rijk was de Juliaanse (zonne-)kalender, en die had geen relatie met de joodse. Een bijkomend probleem was dat de joden indertijd geen vaste kalender hadden: de religieuze autoriteiten bepaalden wanneer maanden begonnen en wanneer er een dertiende maand zou zijn. Bovendien wilden de Christenen zich niet door de joden laten vertellen wanneer ze hun belangrijkste feest zouden vieren.

Concilie van Nicaea: randvoorwaarden

Nadat keizer Constantijn de Grote het Christendom tot staatsgodsdienst had gemaakt, werd het paasprobleem dringend. Op het eerste oecumenisch concilie in Nicaea in 325 kwam het dan ook aan de orde. De brief van Constantijn aan de kerkelijke vertegenwoordigers over de besluiten is bewaard gebleven. De anti-joodse toon is opvallend. Het besluit komt er op neer dat alle kerken de berekeningen van Rome en Alexandrië moeten volgen. Het probleem was dat het nog eeuwen duurde voordat Rome en Alexandrië het eens werden.

De cyclus van Meton en de Alexandrijnse comput

Al sinds 432 v.Chr. was aan de Atheense geleerde Meton bekend dat 19 tropische jaren vrijwel gelijk zijn aan 235 synodische maanden. Babylonische astronomen wisten dat ook, die hadden bovendien heel nauwkeurig de gemiddelde lengte van een maand bepaald (29d 12u en 793/1080 uur), en de Grieken gebruikten die later ook. In de vierde eeuw hebben ook de joden een vaste kalender in gebruik genomen die op deze cyclus van Meton is gebaseerd.

In de laatste eeuwen voor Christus waren de Grieken toonaangevend op het gebied van cultuur en wetenschap, en de Griekse kolonie Alexandrië, indertijd hoofdstad van Egypte dat onder Grieks bewind stond, was een centrum van wetenschap. Griekse geleerden vonden het handig om het vaste Egyptische jaar te gebruiken voor historische en astronomische berekeningen, maar ze wisten dat het zonnejaar iets minder dan 6 uur langer was dan 365 dagen. Al deze kennis werd echter pas ten tijde van de Romeinse overheersing in kalenders gebruikt.

Keizer Augustus had de oeroude Egyptische kalender laten aanpassen door iedere 4 jaar een schrikkeldag toe te voegen, zodat deze in pas liep met de Juliaanse kalender (deze kalender wordt nog altijd gebruikt door de koptische kerken). De Alexandrijnse astronomen koppelden nu een relatief eenvoudige, vaste maankalender aan deze zonnekalender, op basis van de relatie 235 maanden = 19 jaar.

De maankalender nu telde 12 maanden (beginnen met Nieuwe Maan) van afwisselend 30 en 29 dagen: totaal 354 per maanjaar (dus bijna 9 uur te kort). Als op zeker moment het zonne- en maan-jaar tegelijk beginnen, dan is 365 dagen later aan het begin van het nieuwe zonnejaar het maanjaar dus al 11 dagen aan de gang (de Maan dus al 11 dagen oud voordat het nieuwe zonnejaar begint); en na 2 jaar, 22 dagen. Deze dagen worden de epacten (naar het Griekse woord voor "toegevoegd") genoemd. De nieuwe en volle manen vallen dus ieder kalender-jaar 11 dagen vroeger, en de precieze data voor een bepaald jaar kunnen worden bepaald met de epacten. Als de epacten groter dan of gelijk aan 30 dreigen te worden, is het verschil dus al een maand: dan wordt een dertiende maand aan het maanjaar toegevoegd, en 30 van de epacten afgetrokken. Na 19 jaar is de cirkel weer bijna rond: de epacten worden dan met 1 extra dag verhoogd (de zgn. saltus lunae, d.w.z. "sprong van de Maan"), zodat er 19*11+1 = 210 extra dagen oftewel precies 7 extra maanden zijn gevuld: er kan dan een 7e extra maand worden ingelast (19*12+7=235), en de epacten zijn dan weer 0, net als aan het begin van de cyclus.

Nu zijn synodische maanden gemiddeld langer dan 29 + 1/2 dag, en een tropisch jaar is bijna 1/4 dag langer dan 365 dagen. In 19 jaar vallen 4 of 5 schrikkeldagen, dus deze periode duurt 6939 of 6940 dagen. Die schrikkeldagen worden genegeerd in het bepalen van de data van nieuwe en volle manen, of van de epacten. De basis is namelijk het zonnejaar (met z'n schrikkeldagen), en de maanmaand wordt gesteld op 19/235 van het jaar. De maankalender lift dus stilzwijgend mee met de schrikkeldagen van de zonnekalender, en zo wordt ook de gemiddelde lengte van de maand verhoogd naar de juiste waarde van iets langer dan 29 + 1/2 dag. Als er een schrikkeldag in het jaar zit, worden de epacten dus niet met 1 dag extra verhoogd, en laat men dus de nieuwe manen | maanden van de maankalender toch niet vallen op een vroegere datum in het zonnejaar. De verhouding 19 jaren = 235 maanden blijft vastliggen, dus alles komt vanzelf goed. Een voordeel is dat alle 19-jarige cycli er hetzelfde uit zien, dus dat de maanmaanden op dezelfde data in de zonnekalender beginnen. Het nadeel is, dat dit wel eens een of twee dagen fout kan zijn t.o.v. de echte Maan.


Juliaanse methode

De kerk van Alexandrië gebruikte dus een maankalender gebaseerd op de cyclus van Meton, waarin de nieuwe en volle manen na 19 jaar weer op dezelfde datum in het kalender-jaar vallen (zie hierboven). Het andere gegeven voor de Paasdatum is het begin van de lente. In de vierde eeuw stond de Zon in de lente-nachtevening op of rond 21 Maart in de Juliaanse kalender. Deze datum heeft men daarna vastgehouden bij de paasberekeningen.

Paas-Zondag nu is de eerste Zondag NA de veertiende dag van de maand uit de maankalender die valt OP of meteen NA 21 Maart.

Nu telt een gewoon jaar 52 weken + 1 dag, en een schrikkeljaar + 2 dagen. Zondagen vallen dus ieder jaar 1 of 2 dagen vroeger dan het jaar ervoor. Er zijn dus 7 (voor gewone jaren) + 7 (voor schrikkeljaren) = 14 verschillende mogelijke muurkalenders die weekdagen tegen de datum uitzetten. Ze herhalen zich binnen de Juliaanse kalender in een bepaalde volgorde in een cyclus met een periode van 4*7 = 28 jaar: de zgn. Zonne-cirkel. Alles bij elkaar herhaalden Paasdata zich dus na 19*28 = 532 jaar: de zgn. Paas-cyclus.

In Rome liep begin zesde eeuw de tabel met Paasdata die ze op dat moment gebruikten, op z'n eind. De geleerde monnik Dionysius Exiguus ("Dennis de Korte") kreeg de opdracht om een nieuwe tabel te maken. In 525 publiceerde hij een nieuwe tabel voor de periode 532..626, gebaseerd op de Alexandrijnse methode. Hij introduceerde daarbij ook de jaartelling vanaf de "incarnatie" (vleeswording) Christus: het jaar 532 is dus het eerste dat als zodanig werd aangeduid.

Helaas heeft hij niet opgeschreven hoe hij precies wist wanneer Jezus op de wereld kwam. Met de "incarnatie" schijnt hij overigens de conceptie te bedoelen (Maria Boodschap, 25 Maart), niet de geboorte (Kerstmis, 25 December). Het is niet duidelijk wanneer hij het eerste jaar wilde laten beginnen - in zijn tabellen staan verschillende cycli, die allemaal op een andere datum beginnen. Hoe dan ook, tegenwoordig meent men dat Jezus geboren is een paar jaar voordat de telling van Dionysius begint.

Dionysius jaartelling en rekenmethode wonnen langzaam aan populariteit, vooral doordat de gezaghebbende Britse priester-geleerde Bede (zevende eeuw) deze propageerde. In 988 heeft de Fransman Abbo de Fleury nog een aantal vereenvoudigingen ingevoerd. Om te beginnen heb je uit de maankalender alleen maar de veertiende dagen op of na 21 Maart nodig, en daarvan zijn er volgens de cyclus van Meton maar 19 verschillende. Hij introduceerde het Gulden Getal, het rangnummer van het jaar in de cyclus van Meton: deel het jaartal door 19, neem de rest, en tel er 1 bij op; in formule:

G = Jaar modulo 19 + 1

Hij maakte toen een korte tabel waar achter ieder Gulden Getal, de overeenkomstige datum van de veertiende dag van de eerste lente-maand staat.

Tabel I

Gulden Getal: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
14e dag v/d Maan: 5A 25M 13A 2A 22M 10A 30M 18A 7A 27M 15A 4A 24M 12A 1A 21M 9A 29M 17A

(M=Maart, A=April)

Zondagen vind je makkelijk op de volgende manier. Geef alle dagen van het kalenderjaar een letter volgens een cyclus van zeven:

'A','B','C','D','E','F','G','A', enz. (in kerkelijke missalen wordt alleen 'A' als hoofdletter geschreven, en worden verder kleine letters 'b' t/m 'g' gebruikt)

Tabel II: Zondags-letters

Maart ZL April ZL
21 C 1 G
22 D 2 A
23 E 3 B
24 F 4 C
25 G 5 D
26 A 6 E
27 B 7 F
28 C 8 G
29 D 9 A
30 E 10 B
31 F 11 C
12 D
13 E
14 F
15 G
16 A
17 B
18 C
19 D
20 E
21 F
22 G
23 A
24 B
25 C

Kijk dan naar de letter die hoort bij de eerste Zondag van het jaar: dit is de Zondags-letter voor dat jaar. Als die bijv. 'C' is, dan zijn alle dagen met een 'C' een Zondag. Ieder jaar schuift de Zondags-letter één plaats terug in de reeks. Na de schrikkeldag vallen de Zondagen nog een dag eerder in de kalender, dus voor een schrikkeljaar zijn er twee Zondags-letters; voor de Paasdatum heb je alleen de tweede nodig.

Met het Gulden Getal en de Zondags-letter van een jaar, kon men dus aan de hand van twee korte tabellen de Paasdatum vaststellen.

Wie bovenstaande werkwijze volgt, vindt voor het jaar 2023 een Gulden Getal van 10. In Tabel I vindt men dan de datum van 27 Maart in de Juliaanse kalender als veertiende dag. Deze komt overeen met 9 April in de Gregoriaanse kalender. Voor dit Gregoriaanse jaar is de Zondags-letter een 'A', en uit Tabel II vindt men dan dat 9 April 2023 een Zondag is: maar we moeten de Zondag ná de veertiende dag van de maan-maand hebben, dus 16 April. Het Paasfeest valt dus volgens deze orthodoxe berekening op Zondag 16 April (in de Gregoriaanse kalender). De Rooms-katholieke en Protestantse kerken vieren Pasen echter wel op 9 April. Deze wordt namelijk berekend volgens de Gregoriaanse methode, welke hieronder wordt uitgelegd.

Problemen

De hierboven besproken berekening van de Paasdatum in de Juliaanse kalender, op basis van de 19-jarige cyclus van Meton, voldeed gedurende de middeleeuwen, maar na verloop van tijd begon toch op te vallen dat de kalender onnauwkeurig was:


De Gregoriaanse hervorming

In de zestiende eeuw was de Maan 4 dagen, en de Zon al 10 dagen te vroeg. Tijdens het Concilie van Trente (in de periode van 1545 tot 1563) besloot de katholieke kerk dat de kalender moest worden hervormd. Pas paus Gregorius XIII (regeerde van 1572 tot 1585) liet er echt werk van maken.

De arts Aloysius Lilius (Luigi Lilio) uit Calabria had al een uitgebreid voorstel gemaakt. Hij heeft het succes van zijn hervorming niet mogen meemaken. Na zijn dood werd dit plan uitgedragen door zijn broer professor Antonio Lilio, en geadopteerd door de pauselijke commissie waarvan de Duitse jezuiet Christophorus Clavius (Christoph Klau) de secretaris was.

Gregorius XIII publiceerde zijn bul Inter Gravissimas ("Onder de meest zwaarwichtige") op 24 Februari 1582 (1), en begint deze met de erkenning dat het vaststellen van de feestdagen tot zijn meest zwaarwichtige taken behoort. Overigens draagt de paus nog steeds de titel pontifex maximus, net als Julius Caesar indertijd die in dat ambt ook al verantwoordelijk was voor een kalenderhervorming.

Noot 1: de bul zelf is gedateerd 1581, maar in Rome liet men het jaar pas beginnen op 25 Maart.

In de Rooms-katholieke landen werd de Gregoriaanse hervorming snel geaccepteerd, maar de meeste protestants-Christelijke landen volgden veel later of gebruikten een tijdje een eigen variant (de astronoom Kepler - zelf een protestant - merkte schertsend op dat de protestanten het liever oneens waren met de Zon dan eens met de paus). De orthodoxe landen hebben de Gregoriaanse kalender pas in de twintigste eeuw ingevoerd voor burgerlijk gebruik, maar de orthodoxe kerken hebben hem nooit geheel geaccepteerd. In 1923 hebben de orthodoxen een hervormde Juliaanse kalender overwogen, maar deze is nooit ingevoerd. De Russisch-orthodoxe kerk viert nog alle feestdagen, ook de vaste, volgens de Juliaanse kalender: feestdagen als Kerstmis en Nieuwjaar vallen nu 13 dagen na die in de Gregoriaanse kalender. In Griekenland zijn de vaste feestdagen wel aangepast aan de Gregoriaanse kalender, maar wordt Pasen nog altijd volgens de oude Juliaanse methode bepaald.

De Gregoriaanse zonnekalender

De Gregoriaanse kalender bestaat uit een stel van correcties op de Juliaanse kalender, en is niet een geheel nieuwe kalender die de oude vervangt.

Ten eerste werden de kalenderdata tien dagen verschoven: na 4 oktober 1582 kwam 15 oktober. Zo werd 21 Maart weer de officiele dag van de lente-nachtevening.

Voortaan zouden in 400 jaar drie schrikkeljaren vervallen, nl. in de eeuwjaren die niet door 400 deelbaar zijn. Het gemiddelde kalenderjaar is dus 365.2425 dagen lang, slechts weinig meer dan de gemiddelde tijd tussen twee lente-nachteveningen: 365.2423 dagen.

De Gregoriaanse maankalender

Ook de maankalender en de paasberekening werden hervormd. Het was duidelijk dat op de middellange termijn een enkele tabel van Gulden Getallen niet voldeed. Zoals we hebben gezien zijn er in de Juliaanse kalender op iedere datum maar 19 verschillende mogelijkheden voor de ouderdom van de Maan, wat uiteraard niet overeenkomt met de werkelijkheid. Men ging weer rekenen met epacten, maar die zouden geregeld worden gecorrigeerd. In de Gregoriaanse maankalender komen alle 30 mogelijke epacten wel eens voor.


Gregoriaanse methode

Om de datum van de Nieuwe Maan te vinden, schrijft men het zgn. kalendarium uit. Bij iedere datum van een jaar van 365 dagen (de schrikkeldag wordt als vanouds genegeerd), schrijft men een epacten-getal in Romeinse cijfers: te beginnen met * (= xxx, of 0) op 1 Januari, en dan terugtellend via xxix naar i. Men wisselt zo reeksen van 30 en 29 dagen af; in de kortere reeksen moet één van de datums dan twee epacten krijgen, waarover later meer. Als de epacten van een jaar dan bijv. 8 zijn, dan is iedere datum die het epacten-getal viii heeft, de eerste dag van een nieuwe maanmaand.

Tabel III: Kalendarium

Maart Epact April Epact
21 x 1 xxix
22 ix 2 xxviii
23 viii 3 xvii
24 vii 4 25,xvi
25 vi 5 xxiv,xxv
26 v 6 xxiii
27 iv 7 xxii
28 iii 8 xxi
29 ii 9 xx
30 i 10 xix
31 * 11 xviii
12 xvii
13 xvi
14 xv
15 xiv
16 xiii
17 xii
18 xi
19 x
20 ix
21 viii
22 vii
23 vi
24 v
25 iv

Zoals gezegd moeten in maanden van 29 dagen, twee epacten-getallen een plaats krijgen op een zelfde datum. Men heeft hiervoor een heel speciale keuze gemaakt. Volgens de nieuwe regels zou bij sommige epacten de maand kunnen beginnen op 6 April, de veertiende dag vallen op 19 April, en Pasen dus op 26 April kunnen vallen. De kerkvaders hadden echter (volgens Dionysius) bepaald dat de paasmaand ergens van 8 Maart t/m 5 April moet beginnen, dus was 25 April de laatste Paasdatum, en voor de Gregoriaanse hervorming wilde men dat zo houden. Nu is die te late Paasdatum van 26 April te voorkomen door die maanmaand altijd 29 i.p.v. 30 dagen te maken. Dit kan door de epacten-getallen xxiv en xxv samen op 5 April te laten vallen.

De hervormers hebben nog een vuiltje weggewerkt. In sommige mogelijke 19-jaars tabellen komen zowel de epacten xxiv als xxv voor: dan zouden in die jaren met twee verschillende Gulden Getallen, kerkelijke Volle Manen op dezelfde datum vallen. De echte Volle Manen vallen echter nooit op dezelfde kalenderdatum binnen een 19-jarige cyclus (behalve soms als gevolg van de schrikkeldagen, die niet regelmatig binnen de 19-jarige cyclus terugkeren). Men heeft toen extra epacten 25 ingevoerd die samenvallen met de epacten xxvi (op 4 April): in de jaren met Gulden Getal 1 t/m 11 moeten de gewone epacten (xxv) worden gebruikt, in jaren met hogere Gulden Getallen moet (25) worden gebruikt. Die geven dan verschillende Paasdata. Deze extra regel maakt het wel een stuk lastiger om juiste algoritmen te ontwerpen voor gebruik op computers...

Dit alles heeft tot gevolg dat 19 April nu de meest voorkomende Paasdatum is (3.87%). 22 Maart komt het minste voor (0.48%).

Correcties op epacten: vereffening van Zon en Maan

In een 19-jarige cyclus komen steeds maar 19 epacten voor, maar de Gregoriaanse maankalender corrigeert deze geregeld. Om te beginnen worden de epacten gecorrigeerd aan het begin van de Gregoriaanse eeuwjaren waarin een schrikkeldag vervalt: dit is de vereffening van de Zon, waarbij de epacten met 1 worden verlaagd. Het effect is ongeveer alsof er toch een schrikkeldag wordt meegeteld in de 19-jarige cyclus.

Verder wordt de cyclus van Meton zelf gecorrigeerd. Hiervoor wordt 8 maal in 2500 jaar een vereffening van de Maan toegepast, waarin de epacten met 1 worden verhoogd. Dit is aan het begin van iedere derde of vierde Gregoriaanse eeuwjaar, nl. in 1800, 2100, enz., 3900, 4300 . Dat moet dus worden opgeteld bij de eerste correctie.

In de Gregoriaanse kalender herhalen Paasdata zich pas weer in precies dezelfde volgorde na 19*4*25*30 = 57000 eeuwen, dus 5.7 miljoen jaar. Uiteraard zijn ruim voor het einde van deze cyclus al correcties nodig. Het verschil tussen de kerkelijke maand en de huidige gemiddelde lengte van de synodische maand is heel klein, en komt neer op 1 dag in 20000 jaar; in de lengte van het zonnejaar is het 1 dag in 8000 jaar. Lang voor die tijd zijn echter door veranderingen in de baan van Zon en Maan, en in de lengte van de dag, alweer aanpassingen nodig.

Paastabellen

Al met al kan men dus een epacten-tabel maken welke 100 tot 300 jaar geldig blijft. Hieruit kan men dan weer een tabel maken met de 19 Gulden Getallen, en de daarbij behorende 19 data voor dag 14 van de paasmaanden. Zie Tabel IV hieronder. Hij is geldig voor de periode 1900 t/m 2199 .

Tabel IV: Epacten

Jaar 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 2026 2027 2028 2029 2030 2031 2032
Gulden Getal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Epacten 29 10 21 2 13 24 5 16 27 8 19 * 11 22 3 14 (25) 6 17
Dag 14 15M 3A 23M 11A 31M 18A 8A 28M 16A 5A 25M 13A 2A 22M 10A 30M 17A 7A 27M

(M=Maart, A=April)

Voor 2023 is het Gulden Getal 10, en de Zondags-letter A. Uit tabel IV lezen we dan af dat we een Zondag zoeken na 5 April. We vinden daarna in tabel II de eerstvolgende A op 9 April: dit is dus Paas-Zondag.

Een vergelijkbare tabel vinden we bij de maankalender in de Zon-, Maan- en sterren-wijzer die werd uitgegeven bij het eeuwfeest van de (sindsdien Koninklijke) Nederlandse Vereniging voor Weer- en Sterrenkunde in 2001. Zie de foto. Inderdaad is dit een nomogram van (een enigszins vereenvoudigde versie van) de Gregoriaanse maankalender zoals hierboven beschreven.

Foto van de maanwijzer van de KNVWS (2001)


Onvolkomenheden

De Juliaanse zonnekalender had een enkele cyclus van 4 jaar: wanneer de kalender 1 dag uit de pas liep met de veronderstelde gemiddelde Zon werd hij weer gecorrigeerd. De Gregoriaanse kalender benadert het gemiddelde tropische jaar beter, maar doet dit met een reeks extra cycli van 100 en 400 jaar. Bij zo'n methode loopt de afwijking over langere periode op voordat ze wordt gecorrigeerd. In het geval van de Gregoriaanse kalender is de spreiding van vroege en late lente-nachteveningen in de kalender zo'n 53 uur, dus ruim twee dagen. Voor het bepalen van de seizoenen is dat niet zo erg, maar het kan beter. Zie de figuur hieronder, en ook Sterrengids 2004 blz.27 (Maart) voor een grafiek.

Het moment van de lente-nachtevening in de Gregoriaanse kalender in de loop der eeuwen. (© A.R.Peters 2022). Grafiek van het verloop van het tijdstip van het aequinoctium 1892..2108

Bij de maanfasen, die via de cyclus van Meton uit de zonnekalender worden bepaald, zou dit verschil van twee dagen wel duidelijk zichtbaar zijn. Een gevolg van het scheiden van de vereffening van de Zon en Maan in de epacten is echter, dat de maankalender weer grotendeels ontkoppeld wordt van het cyclisch verloop van de zonnekalender. Het is niet duidelijk of de hervormers dit zelf wisten: in de documenten is hierover niets terug te vinden. Het is anderzijds niet geheel duidelijk waarom men aparte zonne- en maan-vereffeningen introduceerde, die elkaar soms (bijv. weer in 2100) opheffen. Men had ook in een regelmatiger patroon, in totaal 43 maal in 10000 jaar de epacten met 1 kunnen verlagen (zoals ook Lichtenberg al voorstelde). Dan echter had de spreiding van ruim twee dagen in de Gregoriaanse zonnekalender volledig doorgewerkt in de maankalender. De oorspronkelijke maankalender bij de Juliaanse kalender was stabieler.

Op het eerste gezicht lijkt het alsof de zonne-vereffening ervoor zorgt dat de maankalender weer cycli van 19 Juliaanse jaren telt. De maan-vereffening is hierna de feitelijke correctie op de cyclus van Meton. Inderdaad past de maan-vereffening van +1 gemiddeld eens per 312,5 jaar wel bij de lengte van het Juliaanse, maar niet bij het Gregoriaanse kalenderjaar: 19 Gregoriaanse jaren zijn 0,0809 dagen korter dan 235 lunaties, en dan moeten de epacten met 1 dag verminderd worden iedere 235 jaar. Als het echter de bedoeling was van de hervormers om de oude maankalender in de Gregoriaanse kalender te behouden, dan hebben ze zich vergist. De correcties van de epacten gebeuren namelijk steeds bij het begin van de Gregoriaanse jaren, niet bij het begin van de Juliaanse jaren, en na enige eeuwen lopen de twee merkbaar uiteen.

Verder zijn in de Gregoriaanse kalender de epacten niet meer het verschil tussen het zonnejaar en maanjaar in dagen! De Gregoriaanse kalender heeft een gemiddelde synodische maand van ca. 29.5305869 dagen, maar onderscheidt 30 waarden voor de epacten. De eenheid van epacten is dus 1/30 van een synodische maand (dit wordt wel tithi genoemd, naar een soortgelijk begrip uit de Indiase astronomie). Daardoor heeft niet iedere correctie van de epacten een verschuiving van de datum van de eerste dag van de maanmaand tot gevolg: epacten xxiv & xxv, en (25) & xxvi, geven in korte maanmaanden dezelfde datum. Een correctie van de epacten is dus gemiddeld minder dan 1 dag: de zonne-vereffening compenseert dus niet precies de vervallen schrikkeldag, en over de gehele cyclus van 5.7 miljoen jaar loopt dat behoorlijk op.

De Franse wiskundige en hugenoot (protestant) François Viète (vooral bekend om zijn werk in de cryptografie) heeft in 1600 een felle kritiek op de Gregoriaanse kalender gepubliceerd, onder andere vanwege deze problemen met de epacten.

Tenslotte zijn er nog wat grensgevallen. Bij sommige combinaties van Gulden Getallen en epacten, en soms na een correctie van de epacten op het eeuwjaar, begint de volgende maanmaand veel te vroeg of te laat na de voorgaande. Voor deze zeldzame situaties, die geen invloed hebben op de Paasdatum, kan men extra regels invoeren.

Zo had in de oorspronkelijke epactentabel na de Gregoriaanse hervorming (geldig tot aan 1700), ieder negentiende jaar de epacten 19. Normaal zou een volgend jaar de epacten 19+11 = * (= 30 of 0) hebben, en een Nieuwe Maan op 1 Januari geteld worden. Echter vanwege de saltus lunae aan het eind van de cyclus, worden de epacten dan 1 i.p.v. 0, en had de Nieuwe Maan al op 31 December van dat voorgaande negentiende jaar moeten vallen. Men miste dus een Nieuwe Maan. Speciaal hiervoor werd toen in jaren met Gulden Getal 19, aan 31 December het epacten-getal 19 toegekend i.p.v. het reguliere nummer xx. Zo begon er toch een nieuwe maan-maand op 31 December en werd in het daaropvolgende jaar alsnog de juiste dag van de Maan berekend. Deze uitzonderingsregel was voor het laatst nodig in 1690, en zal weer vanaf het jaar 8511 moeten worden toegepast.

Een tweede bijzondere situatie kan optreden wanneer de epacten 20 zijn. In dat geval is er een kerkelijke Nieuwe Maan op 31 December. Op nieuwjaarsdag worden de epacten dan 20+11 modulo 30 = 1. Echter als het nieuwe jaar een eeuwjaar is (niet deelbaar door 4) dan wordt de vereffening van de Zon toegepast en de epacten met 1 verlaagd: dus op 1 Januari is het alweer Nieuwe Maan, en hebben we een maan-maand van 1 dag geteld. Dit zal gebeuren bij de jaarwisseling 4199..4200 . Als de Gregoriaanse kalender dan nog wordt gebruikt moet men dan maar beslissen of en hoe men er iets aan doet.

Er is on-line een uitgebreide analyse van de bijzondere gevallen in de Gregoriaanse maankalender beschikbaar.


Literatuur